Да, всем спасибо.
Накладку-то я снимал, но фара крепится на четыре болта: два сверху, два снизу и в глубине. Ключом не подлезть, а накидных головок не было. Сегодня заехал, купил и всё открутил.

На будущее, если у кого-то подобная проблема будет: надо действительно оба конца проволочного зажима нажать на друг друга (то есть сжать), и повернуть вниз наружу. Но у меня они, видимо, закисли, потому что вообще ничего не шевелилось. Поэтому и пришлось снимать всю фару целиком.